Geometria euklidesowa: historia, podstawowe pojęcia i przykłady

Geometria euklidesowa odpowiada badaniu właściwości przestrzeni geometrycznych, w których spełnione są aksjomaty Euklidesa. Chociaż termin ten jest czasami używany do objęcia geometrii o lepszych wymiarach z podobnymi właściwościami, jest zwykle synonimem klasycznej geometrii lub płaskiej geometrii.

W trzecim wieku a. C. Euclides i jego uczniowie napisali Elementy, dzieło, które obejmowało matematyczną wiedzę o czasach wyposażonych w strukturę logiczno-dedukcyjną. Od tego czasu geometria stała się nauką, początkowo w celu rozwiązywania klasycznych problemów i przekształciła się w naukę formatywną, która pomaga rozumowi.

Historia

Aby rozpocząć od historii geometrii euklidesowej, należy zacząć od Euklidesa z Aleksandrii i elementów .

Kiedy Egipt był w rękach Ptolemeusza I, po śmierci Aleksandra Wielkiego rozpoczął swój projekt w szkole w Aleksandrii.

Wśród mędrców, którzy nauczali w szkole, był Euclid. Przypuszcza się, że jego narodziny sięgają około 325 a. C. i jego śmierć 265 a. C. Możemy z całą pewnością wiedzieć, że udał się do szkoły Platona.

Przez ponad trzydzieści lat Euklides nauczał w Aleksandrii, budując swoje słynne elementy: zaczął pisać wyczerpujący opis matematyki swoich czasów. Nauki Euklidesa dawały doskonałych uczniów, takich jak Archimedes i Apolloniusz z Pergi.

Euklides był odpowiedzialny za ustrukturyzowanie odmiennych odkryć klasycznych Greków w żywiołach, ale w przeciwieństwie do swoich poprzedników nie ogranicza się do stwierdzenia, że ​​twierdzenie jest prawdziwe; Euclid oferuje demonstrację.

Elementy to kompendium trzynastu książek. Po Biblii jest to najbardziej opublikowana książka z ponad tysiącem wydań.

Elementy są arcydziełem Euklidesa w dziedzinie geometrii i oferują definitywną obróbkę geometrii dwóch wymiarów (płaszczyzny) i trzech wymiarów (przestrzeni), co jest źródłem tego, co obecnie znamy jako geometrię euklidesową,

Podstawowe pojęcia

Elementy są zgodne z definicjami, wspólnymi pojęciami i postulatami (lub aksjomatami), po których następują twierdzenia, konstrukcje i demonstracje.

- Punktem jest ten, który nie ma części.

- Linia jest długością, która nie ma szerokości.

- Linia prosta jest tą, która leży równo w stosunku do punktów, które się w niej znajdują.

- Jeśli dwie linie są przecięte tak, że kąty sąsiednie są równe, kąty są nazywane prostymi, a linie nazywane są prostopadłymi.

- Równoległe linie są tymi, które będąc w tej samej płaszczyźnie, nigdy nie są cięte.

Po tych i innych definicjach Euclid przedstawia listę pięciu postulatów i pięciu pojęć.

Wspólne pojęcia

- Dwie rzeczy równe jednej trzeciej są sobie równe.

- Jeśli do tych samych rzeczy dodawane są równe rzeczy, wyniki są takie same.

- Jeśli równe rzeczy są odejmowane od równych rzeczy, wyniki są takie same.

- Rzeczy, które pokrywają się ze sobą, są sobie równe.

- Suma jest większa niż część.

Postulaty lub aksjomaty

- Dla dwóch różnych punktów przechodzi jedna i tylko jedna linia.

- Proste linie mogą rozciągać się w nieskończoność.

- Możesz narysować okrąg z dowolnym środkiem i dowolnym promieniem.

- Wszystkie kąty proste są takie same.

- Jeśli linia prosta przecina dwie linie proste, tak że kąty wewnętrzne tej samej strony dodają mniej niż dwa kąty proste, wówczas dwie proste przecinają się po tej stronie.

Ten ostatni postulat jest znany jako postulat paraleli i został przeformułowany w następujący sposób: „Dla punktu poza linią możemy narysować pojedynczą równoległą do danej linii”.

Przykłady

Następnie niektóre twierdzenia elementów posłużą do pokazania właściwości przestrzeni geometrycznych, w których spełnione są pięć postulatów Euklidesa; Ponadto zilustrują rozumowanie logiczno-dedukcyjne stosowane przez tego matematyka.

Pierwszy przykład

Propozycja 1.4. (LAL)

Jeśli dwa trójkąty mają dwa boki i kąt między nimi jest równy, to pozostałe boki i inne kąty są równe.

Demonstracja

Niech ABC i A'B'C 'będą dwoma trójkątami o AB = A'B', AC = A'C ', a kąty BAC i B'A'C' równe. Przejdź do trójkąta A'B'C ', tak że A'B' pokrywa się z AB, a kąt B'A'C 'pokrywa się z kątem BAC.

Następnie linia A'C 'pokrywa się z linią AC, tak że C' pokrywa się z C. Następnie, postulatem 1, linia BC musi pokrywać się z linią B'C '. Dlatego te dwa trójkąty pokrywają się, a zatem ich kąty i boki są równe.

Drugi przykład

Propozycja 1.5. ( Pons Asinorum )

Jeśli trójkąt ma dwie równe strony, to kąty przeciwległe do tych boków są równe.

Demonstracja

Załóżmy, że trójkąt ABC ma równe boki AB i AC.

Następnie trójkąty ABD i ACD mają dwie równe boki, a kąty między nimi są równe. Zatem, według twierdzenia 1.4, kąty ABD i ACD są równe.

Trzeci przykład

Twierdzenie 1.31

Możesz skonstruować linię równoległą do linii podanej przez dany punkt.

BUDOWA

Biorąc pod uwagę linię L i punkt P, rysowana jest linia prosta M, która przechodzi przez P i przecina L. Następnie linia prosta N jest rysowana przez P, która przecina L. Teraz linia N, która przecina M, jest śledzona przez P, tworząc kąt równy kątowi, który L tworzy z M.

Afirmacja

N jest równoległe do L.

Demonstracja

Załóżmy, że L i N nie są równoległe i przecinają się w punkcie A. Niech B będzie punktem w L poza A. Rozważmy linię O, która przechodzi przez B i P. Następnie O przecina M tworząc kąty, które dodają mniej niż dwa proste.

Następnie o 1, 5 linia O musi przeciąć linię L po drugiej stronie M, więc L i O przecinają się w dwóch punktach, co jest sprzeczne z postulatem 1. Dlatego L i N muszą być równoległe.