Twierdzenie dwumianowe: demonstracja i przykłady
Twierdzenie dwumianowe jest równaniem, które mówi nam, jak rozwinąć wyrażenie formy (a + b) n dla pewnej liczby naturalnej n. Dwumian nie jest większy niż suma dwóch elementów, takich jak (a + b). Pozwala nam również na określenie terminu podanego przez akbn-k, jaki jest współczynnik, który mu towarzyszy.
Twierdzenie to jest powszechnie przypisywane angielskiemu wynalazcy, fizykowi i matematykowi Sir Isaacowi Newtonowi; Znaleziono jednak kilka rekordów wskazujących, że na Bliskim Wschodzie jego istnienie było już znane około roku 1000.
Liczby kombinatoryczne
Twierdzenie dwumianowe mówi nam matematycznie:
W tym wyrażeniu aib są liczbami rzeczywistymi, a n jest liczbą naturalną.
Przed pokazem zobaczmy kilka podstawowych pojęć, które są niezbędne.
Kombinatoryczna liczba lub kombinacje nw k jest wyrażona w następujący sposób:
Ta forma wyraża wartość liczby podzbiorów z k elementów, które można wybrać z zestawu n elementów. Jego algebraiczne wyrażenie daje:
Zobaczmy przykład: załóżmy, że mamy grupę siedmiu kulek, z których dwie są czerwone, a pozostałe są niebieskie.
Chcemy wiedzieć, ile sposobów możemy je zamówić z rzędu. Jednym ze sposobów może być umieszczenie dwóch czerwonych w pierwszej i drugiej pozycji, a reszta kul w pozostałych pozycjach.
Podobnie jak w poprzednim przypadku, możemy dać czerwone kulki, odpowiednio, pierwszą i ostatnią pozycję, i zająć pozostałe niebieskimi kulkami.
Teraz skutecznym sposobem policzenia, ile sposobów możemy zamówić kule z rzędu, jest użycie liczb kombinatorycznych. Możemy zobaczyć każdą pozycję jako element następującego zestawu:
Następnie konieczne jest wybranie tylko podzbioru dwóch elementów, w którym każdy z tych elementów reprezentuje pozycję, którą zajmą czerwone kulki. Możemy dokonać tego wyboru zgodnie z relacją podaną przez:
W ten sposób mamy 21 sposobów sortowania takich piłek.
Ogólna idea tego przykładu będzie bardzo przydatna w demonstracji twierdzenia dwumianowego. Spójrzmy na konkretny przypadek: jeśli n = 4, mamy (a + b) 4, czyli nie więcej niż:
Kiedy rozwijamy ten produkt, mamy sumę warunków uzyskanych przez pomnożenie elementu każdego z czterech czynników (a + b). Tak więc będziemy mieć warunki, które będą miały formę:
Jeśli chcemy uzyskać termin formularza a4, wystarczy pomnożyć w następujący sposób:
Zauważ, że istnieje tylko jeden sposób na uzyskanie tego elementu; Ale co się stanie, jeśli teraz szukamy terminu formy a2b2? Ponieważ „a” i „b” są liczbami rzeczywistymi, a zatem prawo przemienne jest ważne, musimy uzyskać sposób na uzyskanie tego terminu, aby pomnożyć się z elementami wskazanymi przez strzałki.
Wykonanie wszystkich tych operacji jest zwykle nieco nużące, ale jeśli zobaczymy termin „a” jako kombinację, w której chcemy wiedzieć, ile sposobów możemy wybrać dwa „a” z zestawu czterech czynników, możemy użyć idei z poprzedniego przykładu. Mamy więc następujące:
Wiemy więc, że w końcowym rozwinięciu wyrażenia (a + b) 4 będziemy mieli dokładnie 6a2b2. Używając tego samego pomysłu dla innych elementów, musisz:
Następnie dodajemy wyrażenia uzyskane wcześniej i musimy:
Jest to formalna demonstracja ogólnego przypadku, w którym „n” jest dowolną liczbą naturalną.
Demonstracja
Zauważ, że terminy, które pozostają podczas tworzenia (a + b) n, mają postać akbn-k, gdzie k = 0, 1, ..., n. Korzystając z idei poprzedniego przykładu, mamy sposób na wybranie zmiennych „k” „a” czynników „n”:
Wybierając w ten sposób, automatycznie wybieramy zmienne nk «b». Z tego wynika, że:
Przykłady
Biorąc pod uwagę (a + b) 5, jaki byłby jego rozwój?
Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym musimy:
Twierdzenie dwumianowe jest bardzo przydatne, jeśli mamy wyrażenie, w którym chcemy wiedzieć, jaki jest współczynnik określonego terminu bez konieczności wykonywania pełnego rozwoju. Jako przykład możemy przyjąć następujące incognito: jaki jest współczynnik x7y9 w rozwoju (x + y) 16?
Według twierdzenia dwumianowego mamy współczynnik:
Innym przykładem może być: jaki jest współczynnik x5y8 w rozwoju (3x-7y) 13?
Najpierw przepisujemy wyrażenie w wygodny sposób; to jest:
Następnie, używając twierdzenia dwumianowego, mamy pożądany współczynnik, gdy mamy k = 5
Innym przykładem zastosowania tego twierdzenia jest demonstracja niektórych wspólnych tożsamości, takich jak te wymienione poniżej.
Tożsamość 1
Jeśli „n” jest liczbą naturalną, musimy:
Do demonstracji używamy twierdzenia dwumianowego, w którym zarówno „a”, jak i „b” przyjmują wartość 1. Następnie mamy:
W ten sposób udowodniliśmy pierwszą tożsamość.
Tożsamość 2
Jeśli „n” jest liczbą naturalną, to
Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym musimy:
Kolejna demonstracja
Możemy zrobić inny dowód na twierdzenie dwumianowe, stosując metodę indukcyjną i tożsamość pascalową, która mówi nam, że jeśli «n» i «k» są dodatnimi liczbami całkowitymi zgodnymi z n ≥ k, to:
Demonstracja przez indukcję
Najpierw zobaczmy, że baza indukcyjna jest spełniona. Jeśli n = 1, musimy:
Skutecznie widzimy, że jest spełniony. Teraz niech n = j tak, aby zostało spełnione:
Chcemy zobaczyć, że dla n = j + 1 spełnione jest:
Musimy więc:
Według hipotezy wiemy, że:
Następnie za pomocą właściwości dystrybucyjnej:
Następnie, opracowując każdy z podanych przez nas podsumowań:
Teraz, jeśli będziemy grupować się w wygodny sposób, musimy:
Korzystając z tożsamości pascala, musimy:
Na koniec zauważ, że:
Dlatego widzimy, że twierdzenie dwumianowe jest spełnione dla każdego „n” należącego do liczby naturalnej, a wraz z nim test się kończy.
Ciekawostki
Liczba kombinatoryczna (nk) jest również nazywana współczynnikiem dwumianowym, ponieważ to właśnie współczynnik pojawia się w rozwoju dwumianu (a + b) n.
Izaak Newton uogólnił to twierdzenie na przypadek, w którym wykładnik jest liczbą rzeczywistą; Twierdzenie to znane jest jako twierdzenie dwumianowe Newtona.
Już w starożytności wynik ten był znany w konkretnym przypadku, w którym n = 2. Ten przypadek jest wspomniany w Elementach Euklidesa.