Rozkład addytywny: aplikacje, partycje, grafika
Addytywna dekompozycja dodatniej liczby całkowitej ma na celu wyrażenie jej jako sumy dwóch lub więcej dodatnich liczb całkowitych. Mamy więc, że liczba 5 może być wyrażona jako 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 lub 5 = 1 + 2 + 2. Każdy z tych sposobów zapisu liczby 5 jest tym, co nazywamy rozkładem addytywnym.
Jeśli zwrócimy uwagę, możemy zauważyć, że wyrażenia 5 = 2 + 3 i 5 = 3 + 2 reprezentują ten sam skład; oba mają te same liczby. Jednak dla wygody, każdy z dodatków jest zwykle zapisywany według kryterium od najmniejszego do największego.
Rozkład addytywny
Jako inny przykład możemy przyjąć liczbę 27, którą możemy wyrazić jako:
27 = 7 + 10 + 10
27 = 9 + 9 + 9
27 = 3 + 6 + 9 + 9
27 = 9 + 18
Rozkład addytywny jest bardzo przydatnym narzędziem, które pozwala nam wzmocnić naszą wiedzę na temat systemów numerowania.
Dodatkowy rozkład kanoniczny
Kiedy mamy liczby większe niż dwie liczby, szczególny sposób ich rozłożenia to wielokrotności 10, 100, 1000, 10 000 itd., Które to tworzą. Ten sposób zapisu dowolnej liczby jest nazywany kanonicznym rozkładem addytywnym. Na przykład liczba 1456 może zostać podzielona w następujący sposób:
1456 = 1000 + 400+ 50 + 6
Jeśli mamy numer 20 846 295, jego rozkład kanoniczny będzie następujący:
20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6 000 + 200 + 90 +5.
Dzięki tej dekompozycji widzimy, że wartość danej cyfry jest określana przez zajmowaną przez nią pozycję. Weźmy na przykład liczby 24 i 42:
24 = 20 + 4
42 = 40 +2
Tutaj możemy zauważyć, że w 24 2 ma wartość 20 jednostek, a 4 4 jednostki; z drugiej strony, w 42 4 ma wartość 40 jednostek i 2 z dwóch jednostek. Tak więc, chociaż obie liczby używają tych samych cyfr, ich wartości są całkowicie różne w zależności od zajmowanej przez nie pozycji.
Aplikacje
Jedną z aplikacji, które możemy nadać dekompozycji addytywnej, jest pewien typ demonstracji, w którym bardzo przydatne jest wyświetlanie dodatniej liczby całkowitej jako sumy innych.
Przykładowe twierdzenie
Weźmy jako przykład następujące twierdzenie wraz z odpowiednimi demonstracjami.
- Niech Z będzie 4-cyfrową liczbą całkowitą, a następnie Z będzie podzielne przez 5, jeśli jego liczba odpowiadająca jednostkom wynosi zero lub pięć.
Demonstracja
Pamiętaj, co to jest podzielność. Jeśli mamy liczby całkowite „a” i „b”, mówimy, że „a” dzieli „b”, jeśli jest liczba całkowita „c” taka, że b = a * c.
Jedna z właściwości podzielności mówi nam, że jeśli „a” i „b” są podzielne przez „c”, to odejmowanie „ab” jest również podzielne przez „c”.
Niech Z będzie 4-cyfrową liczbą całkowitą; dlatego możemy napisać Z jako Z = ABCD.
Korzystając z dekompozycji dodatku kanonicznego mamy to:
Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D
Jasne jest, że A * 1000 + B * 100 + C * 10 jest podzielne przez 5. W tym celu mamy, że Z jest podzielne przez 5, jeśli Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) jest podzielne przez 5.
Ale Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D i D jest liczbą pojedynczej cyfry, więc jedynym sposobem, w jaki można ją podzielić przez 5, jest to, że wynosi ona 0 lub 5.
Dlatego Z jest podzielny przez 5, jeśli D = 0 lub D = 5.
Zauważ, że jeśli Z ma n cyfr, dowód jest dokładnie taki sam, zmieniają się tylko to, że teraz zapisalibyśmy Z = A 1 A 2 ... N i celem byłoby udowodnienie, że A n wynosi zero lub pięć.
Partycje
Mówimy, że podział dodatniej liczby całkowitej jest sposobem, w jaki możemy napisać liczbę jako sumę dodatnich liczb całkowitych.
Różnica między dekompozycją addytywną a partycją polega na tym, że podczas gdy w pierwszym poszukuje się tego, że może być przynajmniej rozłożona na dwa lub więcej dodatków, w partycji nie ma takiego ograniczenia.
Mamy więc następujące:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 2 + 2
Powyższe to partycje 5.
Oznacza to, że cała dekompozycja addytywna jest partycją, ale nie każda partycja jest koniecznie dekompozycją addytywną.
W teorii liczb podstawowe twierdzenie arytmetyczne gwarantuje, że każda liczba całkowita może być zapisana wyłącznie jako iloczyn liczb pierwszych.
Podczas studiowania partycji celem jest określenie, ile sposobów można zapisać dodatnią liczbę całkowitą jako sumę innych liczb całkowitych. Dlatego definiujemy funkcję partycji, jak pokazano poniżej.
Definicja
Funkcja podziału p (n) jest zdefiniowana jako liczba sposobów, w których dodatnia liczba całkowita n może być zapisana jako suma dodatnich liczb całkowitych.
Wracając do przykładu 5, musimy:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 1 + 3
5 = 1 + 2 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
W ten sposób p (5) = 7.
Grafika
Zarówno partycje, jak i dekompozycje addytywne liczby n mogą być reprezentowane geometrycznie. Załóżmy, że mamy addytywną dekompozycję n. W tej dekompozycji dodatki mogą być ustawione tak, że członkowie sumy są uporządkowani od najniższej do najwyższej. Wtedy warto:
n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a r z
a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ ... ≤ a r .
Możemy rozłożyć taki rozkład w następujący sposób: w pierwszym rzędzie oznaczamy punkty 1, następnie w następnym zaznaczamy 2 punkty, i tak dalej, aż osiągniemy aa r .
Weźmy na przykład numer 23 i jego następującą dekompozycję jako przykład:
23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3
Zamawiamy ten rozkład i mamy:
23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7
Odpowiedni wykres to:
Podobnie, jeśli odczytamy ten wykres pionowo, a nie poziomo, możemy uzyskać rozkład, który może być inny niż poprzedni. W przykładzie 23 podkreśla następujące:
Musimy więc 23 napisać to jako:
23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.
