Jakie są jednoczesne równania? (z rozwiązanymi ćwiczeniami)

Równania równoczesne to równania, które muszą być spełnione jednocześnie. Dlatego, aby mieć równania równoczesne, trzeba mieć więcej niż jedno równanie.

Kiedy masz dwa lub więcej równań, które muszą mieć to samo rozwiązanie (lub te same rozwiązania), mówisz, że masz układ równań lub mówisz, że masz równania równoczesne.

Gdy masz równania równoczesne, może się zdarzyć, że nie mają wspólnych rozwiązań lub mają skończoną ilość lub mają nieskończoną ilość.

Równania równoczesne

Biorąc pod uwagę dwa różne równania Eq1 i Eq2, mamy do czynienia z tym układem równań.

Równania równoczesne spełniają to, że jeśli S jest rozwiązaniem Eq1, to S jest również rozwiązaniem Eq2 i vice versa

Funkcje

Jeśli chodzi o układ równań równoczesnych, możesz mieć 2 równania, 3 równania lub N równań.

Najczęstszymi metodami używanymi do rozwiązywania równań równoczesnych są: podstawianie, wyrównanie i redukcja. Istnieje również inna metoda zwana regułą Cramera, która jest bardzo przydatna dla systemów z więcej niż dwoma równoczesnymi równaniami.

Przykładem równań równoczesnych jest system

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Można zauważyć, że x = 0, y = 2 jest rozwiązaniem równania 1, ale nie jest rozwiązaniem równania2.

Jedynym powszechnym rozwiązaniem, które mają oba równania, jest x = 1, y = 1. Oznacza to, że x = 1, y = 1 to rozwiązanie układu równań równoczesnych.

Rozwiązane ćwiczenia

Następnie przejdź do rozwiązania układu równań pokazanych powyżej, za pomocą 3 wymienionych metod.

Pierwsze ćwiczenie

Rozwiąż układ równań Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 za pomocą metody podstawiania.

Rozwiązanie

Metoda podstawiania polega na usunięciu jednej z niewiadomych jednego z równań, a następnie zastąpieniu go w innym równaniu. W tym konkretnym przypadku możesz wyczyścić „y” z Eq1 i otrzymasz y = 2-x.

Zastępując tę wartość „y” w Eq2, uzyskuje się, że 2x- (2-x) = 1. Dlatego otrzymujemy 3x-2 = 1, czyli x = 1.

Następnie, ponieważ wartość x jest znana, jest ona zastępowana przez „y”, a y = 2-1 = 1.

Dlatego jedynym rozwiązaniem układu równań równoczesnych Eq1 i Eq2 jest x = 1, y = 1.

Drugie ćwiczenie

Rozwiąż układ równań Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 za pomocą metody wyrównania.

Rozwiązanie

Metoda wyrównania polega na usunięciu tego samego pytania z obu równań, a następnie wyrównaniu otrzymanych równań.

Usuwając „x” z obu równań, otrzymujemy x = 2-y, a x = (1 + y) / 2. Te dwa równania są teraz zrównane i otrzymujemy 2-y = (1 + y) / 2, gdzie okazuje się, że 4-2y = 1 + y.

Grupowanie nieznanego „y” po tej samej stronie skutkuje y = 1. Teraz, gdy wiemy „i”, przechodzimy do wartości „x”. Zastępując y = 1, otrzymujemy, że x = 2-1 = 1.

Dlatego powszechnym rozwiązaniem między równaniami Eq1 i Eq2 jest x = 1, y = 1.

Trzecie ćwiczenie

Rozwiąż układ równań Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 za pomocą metody redukcji.

Rozwiązanie

Metoda redukcji polega na pomnożeniu równań podanych przez odpowiednie współczynniki, tak że podczas dodawania tych równań jedna ze zmiennych jest anulowana.

W tym konkretnym przykładzie nie ma potrzeby mnożenia żadnego równania przez żaden współczynnik, wystarczy dodać je razem. Dodając Eq1 plus Eq2 otrzymujemy 3x = 3, z którego otrzymujemy x = 1.

Przy ocenie x = 1 w Eq1 otrzymujemy 1 + y = 2, skąd okazuje się, że y = 1.

Dlatego x = 1, y = 1 jest jedynym rozwiązaniem równań równoczesnych Eq1 i Eq2.

Czwarte ćwiczenie

Rozwiąż układ równań równoczesnych Eq1: 2x-3y = 8 i Eq2: 4x-3y = 12.

Rozwiązanie

W tym ćwiczeniu nie jest wymagana żadna konkretna metoda, dlatego można zastosować metodę najbardziej wygodną dla każdego czytnika.

W takim przypadku zostanie zastosowana metoda redukcji. Mnożenie Eq1 przez -2 daje równanie Eq3: -4x + 6y = -16. Teraz dodanie Eq3 i Eq2 daje 3y = -4, dlatego y = -4 / 3.

Teraz, oceniając y = -4 / 3 w Eq1, otrzymujemy 2x-3 (-4/3) = 8, gdzie 2x + 4 = 8, a zatem x = 2.

Podsumowując, jedynym rozwiązaniem układu równań równoczesnych Eq1 i Eq2 jest x = 2, y = -4 / 3.