Czym są granice trygonometryczne? (z rozwiązanymi ćwiczeniami)

Granice trygonometryczne są granicami funkcji, tak że funkcje te są tworzone przez funkcje trygonometryczne.

Istnieją dwie definicje, które muszą być znane, aby zrozumieć, w jaki sposób obliczane jest ograniczenie trygonometryczne.

Te definicje to:

- Ograniczenie funkcji «f», gdy «x» dąży do «b»: polega na obliczeniu wartości, do której f (x) zbliża się, gdy «x» zbliża się do «b», nie osiągając «b» »

- Funkcje trygonometryczne: funkcje trygonometryczne to funkcje sinus, cosinus i tangens, oznaczane odpowiednio przez sin (x), cos (x) i tan (x).

Pozostałe funkcje trygonometryczne są uzyskiwane z trzech wymienionych powyżej funkcji.

Granice funkcji

Aby wyjaśnić pojęcie limitu funkcji, pokażemy kilka przykładów z prostymi funkcjami.

- Granica f (x) = 3, gdy «x» zmierza do «8», jest równa «3», ponieważ funkcja jest zawsze stała. Bez względu na wartość „x” wartość f (x) będzie zawsze równa „3”.

- Limit f (x) = x-2, gdy «x» zmierza do «6» wynosi «4». Od kiedy «x» zbliża się do «6», a następnie «x-2» zbliża się «6-2 = 4».

- Limit g (x) = x², gdy «x» zmierza do «3» jest równy 9, ponieważ gdy «x» zbliża się «3», to zbliża się «x²» «3² = 9»,

Jak widać w poprzednich przykładach, obliczenie limitu polega na ocenie wartości, do której zmierza „x” w funkcji, a wynikiem będzie wartość limitu, chociaż jest to prawdą tylko dla funkcji ciągłych.

Czy są bardziej skomplikowane granice?

Odpowiedź brzmi: tak. Powyższe przykłady są najprostszymi przykładami ograniczeń. W książkach obliczeniowych główne ćwiczenia limitów to te, które generują nieokreśloność typu 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 i (∞) ^ 0.

Wyrażenia te nazywane są nieokreśleniami, ponieważ są wyrażeniami, które matematycznie nie mają znaczenia.

Oprócz tego, w zależności od funkcji związanych z pierwotnym limitem, wynik uzyskany w rozwiązaniu nieokreślonych wartości może być w każdym przypadku inny.

Przykłady prostych granic trygonometrycznych

Aby rozwiązać granice, zawsze bardzo przydatne jest poznanie wykresów związanych z tymi funkcjami. Wykresy funkcji sinus, cosinus i stycznej pokazano poniżej.

Niektóre przykłady prostych limitów trygonometrycznych to:

- Oblicz granicę sin (x), gdy «x» zmierza do «0».

Kiedy zobaczysz wykres, zobaczysz, że jeśli „x” zbliża się do „0” (zarówno po lewej, jak i prawej stronie), to wykres sinusoidy również zbliża się do „0”. Dlatego limit sin (x), gdy «x» zmierza do «0», to «0».

- Oblicz granicę cos (x), gdy «x» zmierza do «0».

Obserwując wykres cosinusowy, można zauważyć, że gdy „x” jest bliskie „0”, wykres cosinusowy jest bliski „1”. Oznacza to, że granica cos (x), gdy «x» zmierza do «0», jest równa «1».

Limit może istnieć (być liczbą), jak w poprzednich przykładach, ale może się również zdarzyć, że nie istnieje, jak pokazano w poniższym przykładzie.

- Granica tan (x), gdy «x» dąży do «Π / 2» po lewej stronie, jest równa «+ ∞», jak widać na wykresie. Z drugiej strony, granica tan (x), gdy «x» dąży do «-Π / 2» po prawej stronie, jest równa «-∞».

Tożsamości granic trygonometrycznych

Dwie bardzo przydatne tożsamości przy obliczaniu limitów trygonometrycznych to:

- Limit «sin (x) / x», gdy «x» zmierza do «0», jest równy «1».

- Limit «(1-cos (x)) / x», gdy «x» zmierza do «0», jest równy «0».

Tożsamości tej używa się bardzo często, gdy istnieje jakiś rodzaj nieokreśloności.

Rozwiązane ćwiczenia

Rozwiąż następujące ograniczenia, używając tożsamości opisanych powyżej.

- Oblicz limit «f (x) = sin (3x) / x», gdy «x» zmierza do «0».

Jeśli funkcja «f» jest oceniana w «0», uzyskana zostanie nieokreśloność typu 0/0. Dlatego musimy spróbować rozwiązać tę nieokreśloność, używając opisanych tożsamości.

Jedyną różnicą między tym limitem a tożsamością jest liczba 3, która pojawia się w funkcji sinus. Aby zastosować tożsamość, funkcja «f (x)» musi zostać przepisana w następujący sposób «3 * (sin (3x) / 3x)». Teraz zarówno argument sinusa, jak i mianownik są takie same.

Więc kiedy «x» zmierza do «0», używając wyników tożsamości «3 * 1 = 3». Dlatego granica f (x), gdy «x» zmierza do «0», jest równa «3».

- Oblicz limit «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», gdy «x» zmierza do «0».

Gdy „x = 0” jest podstawione w g (x), uzyskuje się określenie typu ∞-∞. Aby go rozwiązać, ułamki są odejmowane, co daje wynik «(1-cos (x)) / x».

Teraz, stosując drugą tożsamość trygonometryczną, mamy granicę g (x), gdy «x» zmierza do «0» równa się 0.

- Oblicz limit «h (x) = 4tan (5x) / 5x», gdy «x» zmierza do «0».

Ponownie, jeśli h (x) jest oceniane w „0”, uzyskana zostanie nieokreśloność typu 0/0.

Przepisanie tan (5x) jako sin (5x) / cos (5x) skutkuje h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Używając granicy 4 / cos (x), gdy «x» dąży do «0», jest równe «4/1 = 4», a pierwsza tożsamość trygonometryczna otrzymuje granicę h (x), gdy «x» dąży «0» jest równe «1 * 4 = 4».