Prostokątne elementy wektora (z ćwiczeniami)

Prostokątne elementy wektora są danymi, które tworzą ten wektor. Aby je określić, konieczne jest posiadanie układu współrzędnych, który jest ogólnie płaszczyzną kartezjańską.

Gdy masz wektor w układzie współrzędnych, możesz obliczyć jego składniki. Są to 2, składowa pozioma (równoległa do osi X), zwana „składową na osi X” i składowa pionowa (równoległa do osi Y), zwana „składową na osi Y”.

Aby określić składniki, należy znać pewne dane wektorowe, takie jak ich wielkość i kąt, który tworzy z osią X.

Jak określić prostokątne elementy wektora?

Aby określić te składniki, muszą być znane pewne zależności między trójkątami prawymi a funkcjami trygonometrycznymi.

Na poniższym obrazku widać tę relację.

Sinus kąta jest równy ilorazowi między miarą nogi przeciwnej do kąta i pomiarem przeciwprostokątnej.

Z drugiej strony, cosinus kąta jest równy ilorazowi między pomiarem nogi sąsiadującej z kątem i pomiarem przeciwprostokątnej.

Styczna kąta jest równa ilorazowi między pomiarem przeciwległej nogi a pomiarem przylegającej nogi.

We wszystkich tych relacjach konieczne jest ustanowienie odpowiedniego trójkąta prostokątnego.

Czy są inne metody?

Tak. W zależności od dostarczonych danych sposób obliczania prostokątnych elementów wektora może się różnić. Innym często używanym narzędziem jest twierdzenie Pitagorasa.

Ćwiczenia

W poniższych ćwiczeniach definicja prostokątnych elementów wektora i opisane powyżej relacje są stosowane w praktyce.

Pierwsze ćwiczenie

Wiadomo, że wektor A ma wielkość równą 12, a kąt, który tworzy z osią X, ma pomiar 30 °. Określ prostokątne elementy wspomnianego wektora A.

Rozwiązanie

Jeśli obraz zostanie doceniony i zastosowane zostaną wzory opisane powyżej, można wywnioskować, że komponent na osi Y wektora A jest równy

sin (30 °) = Vy / 12, a zatem Vy = 12 * (1/2) = 6.

Z drugiej strony mamy, że komponent na osi X wektora A jest równy

cos (30 °) = Vx / 12, a zatem Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Drugie ćwiczenie

Jeśli wektor A ma wielkość równą 5, a komponent na osi X jest równy 4, określ wartość składnika A na osi y.

Rozwiązanie

Używając twierdzenia Pitagorasa, mamy do czynienia z wielkością wektora A do kwadratu równą sumie kwadratów dwóch prostokątnych składników. Oznacza to, że M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Zastępując podane wartości, musisz

5² = (4) ² + (Vy) ², zatem 25 = 16 + (Vy) ².

Oznacza to, że (Vy) ² = 9 iw konsekwencji Vy = 3.