Techniki liczenia: główne techniki, zastosowania i przykłady
Techniki liczenia to seria metod prawdopodobieństwa do zliczania możliwej liczby układów w zestawie lub kilku zestawach obiektów. Są one używane, gdy tworzenie kont jest skomplikowane ze względu na dużą liczbę obiektów i / lub zmiennych.
Na przykład rozwiązanie tego problemu jest bardzo proste: wyobraź sobie, że twój szef prosi cię o policzenie ostatnich produktów, które dotarły w ciągu ostatniej godziny. W takim przypadku możesz przejść i policzyć produkty pojedynczo.
Wyobraź sobie jednak, że problem polega na tym, że twój szef prosi cię o policzenie, ile grup po 5 produktów tego samego typu można utworzyć z tymi, którzy przybyli w ciągu ostatniej godziny. W takim przypadku obliczenia stają się skomplikowane. Tak zwane techniki liczenia są stosowane w tego typu sytuacjach.
Techniki te są kilka, ale najważniejsze są podzielone na dwie podstawowe zasady, którymi są mnożnik i dodatek; permutacje i kombinacje.
Zasada multiplikatywności
Aplikacje
Zasada multiplikatywności, wraz z dodatkiem, ma podstawowe znaczenie dla zrozumienia działania technik liczenia. W przypadku multiplikatywnego składa się z następujących elementów:
Wyobraź sobie działanie, które obejmuje określoną liczbę kroków (suma jest oznaczona jako „r”), gdzie pierwszy krok można wykonać z form N1, drugi etap N2 i krok „r” formularzy. W tym przypadku działanie można wykonać z liczby formularzy wynikających z tej operacji: N1 x N2 x .......... x Nr formularzy
Dlatego ta zasada jest nazywana multiplikatywną i zakłada, że każdy z etapów, które są potrzebne do wykonania działania, musi być wykonywany jeden po drugim.
Przykład
Wyobraźmy sobie osobę, która chce zbudować szkołę. W tym celu należy wziąć pod uwagę, że podstawa budynku może być zbudowana na dwa różne sposoby: cement lub beton. Jeśli chodzi o ściany, mogą być wykonane z adobe, cementu lub cegły.
Jeśli chodzi o dach, może on być wykonany z cementu lub blachy ocynkowanej. Ostatecznie ostateczne malowanie można wykonać tylko w jeden sposób. Powstaje następujące pytanie: Ile sposobów musi zbudować szkoła?
Najpierw rozważamy liczbę kroków, które będą podstawą, ścianami, dachem i obrazem. W sumie 4 kroki, więc r = 4.
Oto lista N:
N1 = sposoby budowania bazy = 2
N2 = sposoby budowania ścian = 3
N3 = sposoby wykonania dachu = 2
N4 = sposoby tworzenia farby = 1
Dlatego liczba możliwych formularzy byłaby obliczana według wzoru opisanego powyżej:
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 sposobów na uczęszczanie do szkoły.
Zasada addytywności
Aplikacje
Zasada ta jest bardzo prosta i polega na tym, że w przypadku istnienia kilku alternatyw do przeprowadzenia tej samej czynności możliwe formy składają się z sumy różnych możliwych sposobów realizacji wszystkich alternatyw.
Innymi słowy, jeśli chcemy przeprowadzić działanie z trzema alternatywami, gdzie pierwsza alternatywa może być wykonana w formach M, druga w postaci N i ostatnia w formach W, aktywność może być wykonana z: M + N + ......... + W formy.
Przykład
Wyobraź sobie tym razem osobę, która chce kupić rakietę tenisową. W tym celu ma do wyboru trzy marki: Wilson, Babolat lub Head.
Kiedy idzie do sklepu, widzi, że rakietę Wilson można kupić z uchwytem o dwóch różnych rozmiarach, L2 lub L3 w czterech różnych modelach i można go naciągnąć lub bez naciągania.
Rakieta Babolat, z drugiej strony, ma trzy uchwyty (L1, L2 i L3), istnieją dwa różne modele i może być również nawleczona lub bez naciągania.
Rakieta Head, z drugiej strony, jest tylko z jednym uchwytem, L2, w dwóch różnych modelach i tylko bez sznurka. Pytanie brzmi: ile sposobów ta osoba musi kupić swoją rakietę?
M = liczba sposobów wyboru rakiety Wilsona
N = Liczba sposobów wyboru rakiety Babolat
W = Liczba sposobów wyboru rakiety czołowej
Tworzymy zasadę mnożnika:
M = 2 x 4 x 2 = 16 form
N = 3 x 2 x 2 = 12 form
W = 1 x 2 x 1 = 2 formy
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 sposobów na wybór rakiety.
Aby wiedzieć, kiedy stosować zasadę multiplikatywną i dodatek, wystarczy sprawdzić, czy działanie ma szereg kroków do wykonania, a jeśli istnieje kilka alternatyw, dodatek.
Permutacje
Aplikacje
Aby zrozumieć, czym jest permutacja, ważne jest wyjaśnienie, jaka jest kombinacja, aby je rozróżnić i wiedzieć, kiedy z nich korzystać.
Kombinacja byłaby układem elementów, w których nie jesteśmy zainteresowani pozycją, którą zajmuje każdy z nich.
Z drugiej strony permutacja byłaby układem elementów, w których jesteśmy zainteresowani pozycją, którą zajmuje każdy z nich.
Podajmy przykład, aby lepiej zrozumieć różnicę.
Przykład
Wyobraź sobie klasę składającą się z 35 uczniów i następujących sytuacji:
- Nauczyciel chce, aby trzech jego uczniów pomogło mu utrzymać klasę w czystości lub dostarczyć materiały innym uczniom, gdy tego potrzebuje.
- Nauczyciel chce wyznaczyć delegatów klasowych (prezydenta, asystenta i finansistę).
Rozwiązaniem byłoby:
- Wyobraź sobie, że głosując na Juana, Marię i Lucię wybiera się czyszczenie klasy lub dostarczanie materiałów. Oczywiście inne grupy trzech osób mogły powstać wśród 35 możliwych studentów.
Musimy zadać sobie następujące pytania: czy ważne jest, aby kolejność lub pozycja zajmowana przez każdego z uczniów w momencie ich wyboru?
Jeśli się nad tym zastanowimy, zobaczymy, że to naprawdę nie jest ważne, ponieważ grupa zajmie się obydwoma zadaniami jednakowo. W tym przypadku jest to kombinacja, ponieważ nie interesuje nas położenie elementów.
- Teraz wyobraź sobie, że John został wybrany na prezydenta, Maria jako asystentka, a Lucia jako finansowa.
Czy w tym przypadku porządek ma znaczenie? Odpowiedź brzmi: tak, ponieważ jeśli zmienimy elementy, wynik ulegnie zmianie. To znaczy, jeśli zamiast postawić Juana na stanowisku prezydenta, stawiamy go jako asystenta, a Maria jako prezydenta, ostateczny rezultat się zmieni. W tym przypadku jest to permutacja.
Po zrozumieniu różnicy otrzymamy wzory permutacji i kombinacji. Najpierw jednak musimy zdefiniować termin „n!” (Czynnikowy), ponieważ będzie on używany w różnych formułach.
n! = produkt od 1 do n.
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... ..x n
Używanie go z liczbami rzeczywistymi:
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 10 = 3 628 800
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 5 = 120
Formuła permutacji byłaby następująca:
nPr = n! / (nr)!
Dzięki niemu możemy znaleźć układy, w których kolejność jest ważna i gdzie n elementów jest różnych.
Kombinacje
Aplikacje
Jak już wcześniej komentowaliśmy, kombinacje są układami, w których nie dbamy o położenie elementów.
Jego formuła jest następująca:
nCr = n! / (nr)! r!
Przykład
Jeśli jest 14 uczniów, którzy chcą zgłosić się na ochotnika do sprzątania klasy, ile grup sprzątających może utworzyć każda grupa 5 osób?
Rozwiązaniem byłoby zatem następujące:
n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = Grupy 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002