Czym jest Gravicentro? (z przykładami)

Gravicentro to definicja szeroko stosowana w geometrii podczas pracy z trójkątami.

Aby zrozumieć definicję gravicentro, należy najpierw poznać definicję „median” trójkąta.

Mediany trójkąta są segmentami linii, które zaczynają się od każdego wierzchołka i osiągają punkt środkowy strony przeciwnej do tego wierzchołka.

Punkt przecięcia trzech median trójkąta jest nazywany ośrodkiem barycenter lub znany jest również jako gravicentro.

Nie wystarczy znać definicji, warto wiedzieć, jak obliczany jest ten punkt.

Obliczanie Barycenter

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC z wierzchołkami A = (x1, y1), B = (x2, y2) i C = (x3, y3), mamy, że gravicentro jest przecięciem trzech median trójkąta.

Szybka formuła, która pozwala obliczyć grawitację trójkąta, wiedząc, że współrzędne jego wierzchołków to:

G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).

Dzięki tej formule możesz poznać położenie gravicentro w płaszczyźnie kartezjańskiej.

Charakterystyka Gravicentro

Nie ma potrzeby rysowania trzech median trójkąta, ponieważ podczas rysowania dwóch z nich będzie oczywiste, gdzie jest gravicentro.

Gravicentro dzieli każdą medianę na 2 części, których proporcja wynosi 2: 1, czyli dwa segmenty każdej mediany są podzielone na segmenty o długości 2/3 i 1/3 całkowitej długości, przy czym największa odległość to ta, która jest między wierzchołkiem a gravicentro.

Poniższy obraz najlepiej ilustruje tę właściwość.

Wzór na obliczenie gravicentro jest bardzo prosty w zastosowaniu. Sposobem na uzyskanie tej formuły jest obliczenie równań linii definiujących każdą medianę, a następnie znalezienie punktu cięcia tych linii.

Ćwiczenia

Poniżej znajduje się mała lista problemów dotyczących obliczania centrum barycenter.

1.- Biorąc pod uwagę trójkąt wierzchołków A = (0, 0), B = (1, 0) i C = (1, 1), oblicz gravicentro tego trójkąta.

Korzystając z danej formuły, można szybko stwierdzić, że gravicentro trójkąta ABC jest:

G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).

2.- Jeśli trójkąt ma wierzchołki A = (0, 0), B = (1, 0) i C = (1 / 2, 1), jakie są współrzędne gravicentro?

Ponieważ wierzchołki trójkąta są znane, stosuje się wzór do obliczania gravicentro. Dlatego gravicentro ma współrzędne:

G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).

3.- Oblicz możliwe grawitatory dla trójkąta równobocznego tak, że dwa z jego wierzchołków to A = (0, 0) i B = (2, 0).

W tym ćwiczeniu podaje się tylko dwa wierzchołki trójkąta. Aby znaleźć możliwe grawitatory, najpierw oblicz trzeci wierzchołek trójkąta.

Ponieważ trójkąt jest równoboczny, a odległość między A i B wynosi 2, mamy trzeci wierzchołek C, musi być w odległości 2 od A i B.

Wykorzystując fakt, że w trójkącie równobocznym wysokość pokrywa się z medianą, a także przy użyciu twierdzenia Pitagorasa, możemy stwierdzić, że opcje dla współrzędnych trzeciego wierzchołka to C1 = (1, √3) lub C2 = (1, - √3).